「形式的体系における数学の展開」のノート的なもの

久しぶりの投稿となりましたが、そもそもこの記事を書こうと思ったモチベーションは、

趣味でやっていました数学がおもしろくなってきまして（別に新しい定理を見つけたとかではない）

備忘録的な感じでまとめておきたいなーと思ったということです。

ではどんな内容かといいますと、タイトルにもありますが、

形式的な立場から、公理系および推論規則を基礎に数学を構築し、どのように数学が展開されていくのかを調べるという感じです。

また使用する体系は現代数学の大部分を支持する公理的集合論の予定です。

数学基礎論に関連する内容になりそうですが、

どちらかというとひたすら数学を形式的に展開していくということがやりたいので

数学基礎論の目的（数学を数学する）とは少し違ってくると思います。

しかし表現可能性、計算可能性、ゲーデルの不完全性定理などにもふれていきたいと思っております。

そもそもなぜ数学基礎論に興味を持ったかといいますと、大学で微分積分学を学んだ際に、イプシロンデルタ論法により厳密に極限を考えていると言われたときでした。

以下は関数がある極限である値に収束することを示した式です。

全称記号は「すべての～について」、存在記号は「ある～が存在して」という意味だと教わり、雰囲気は理解できました。

しかしこれらの記号を使って何らかの式を証明しようとしたとき、或いは問題を解こうとしたとき、これらの記号についてどのような操作、式変形を行ってよいのか全く分かりませんでした。

解法を見ても、意味的には確かにこの操作はしてよさそうだなーと雰囲気は理解できるのですが、その操作の正当性が見いだせずもやもやしていました。

そこで、全称記号や存在記号の意味って何なんだ？どんか操作をしていいのか？を

徹底的に調べてやろうと思ったのが始まりでした。

そんなきっかけで趣味として始めた数学でしたが、

考えるべきことが増えてきましたので備忘録としてまとめていきたいと思います。

それでは次の記事から内容にはいっていきます。